СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие
Глава 1. Векторный анализ
1.1. Основные понятия
1.2. Техника вычислений с оператором Гамильтона
1.3. Скалярные и векторные поля в криволинейных системах координат
Глава 2. Уравнения математической физики
2.1. Классификация уравнений второго порядка в частных производных
2.1.1. Приведение гиперболического уравнения
к канонической форме
2.1.2. Приведение параболического уравнения к канонической форме
2.1.3. Приведение эллиптического уравнения к канонической форме
2.2. Уравнения параболического типа
2.2.1. Метод разделения переменных
2.2.2. Преобразование неоднородных граничных условий к однородным
2.2.3. Преобразование сложных уравнений к простому виду
2.2.4. Задача теплопроводности с производной в граничном условии
2.2.5. Решение неоднородных УЧП методом разложения по собственным функциям
2.3. Уравнения гиперболического типа
2.3.1. Движение бесконечной струны. Метод бегущих волн
2.3.2. Волновое уравнение и граничные условия
2.3.3. Колебания ограниченной струны
2.3.4. Краевая задача Штурма–Лиувилля и уравнения для простейших специальных функций
2.3.5. Волновое уравнение в полярных координатах (колебания мембраны)
2.4. Уравнения эллиптического типа
2.4.1. Основные типы граничных условий в краевых задачах
2.4.2. Внутренняя задача Дирихле
2.4.3. Задача Дирихле в кольце
2.4.4. Внешняя задача Дирихле
2.4.5. Уравнение Лапласа в сферических координатах (сферические гармоники)
Глава 3. Решение уравнений с частными производными методом конформных отображений
3.1. Основные понятия
3.2. Решение уравнений с частными производными методом конформных отображений
Глава 4. Применение интегральных преобразований для решения уравнений в частных производных
4.1. Понятие интегрального преобразования
4.2. Интегральные синус- и косинус-преобразования Фурье
4.3. Преобразование Фурье
4.4. Преобразование Лапласа
4.5. Принцип Дюамеля
Глава 5. Интегральные уравнения Вольтерра
5.1. Основные понятия
5.2. Связь между линейными дифференциальными уравнениями и интегральными уравнениями Вольтерра
5.3. Резольвента интегрального уравнения Вольтерра. Решение интегрального уравнения с помощью резольвенты
5.4. Метод последовательных приближений
5.5. Использование интегральных преобразований для решения интегральных уравнений Вольтерра
5.6. Интегральные уравнения Вольтерра 1-го рода
Глава 6. Интегральные уравнения Фредгольма
6.1. Уравнения Фредгольма 2-го рода. Основные понятия
6.2. Итерированные ядра. Построение резольвенты с помощью итерированных ядер
6.3. Интегральные уравнения с вырожденным ядром. Уравнения типа Гаммерштейна
6.4. Однородные интегральные уравнения Фредгольма. Характеристические числа и собственные функции
6.5. Решение однородных интегральных уравнений с вырожденным ядром
6.6. Неоднородные интегральные симметричные уравнения
6.7. Аналогия между линейными интегральными уравнениями и линейными алгебраическими уравнениями. Формулировка теорем Фредгольма
Глава 7. Функция Грина для краевых задач
7.1. Интегральные уравнения и функция Грина
7.2. Построение функции Грина для обыкновенных дифференциальных уравнений
7.3. Применение функции Грина для решения краевых задач
7.4. Краевые задачи, содержащие параметр, и сведение их к интегральным уравнениям
Глава 8. Вариационное исчисление
8.1. Функционал, его вариация и экстремум
8.2. Уравнение Эйлера
8.3. Функционалы, зависящие от n функций
8.4. Функционалы, зависящие от производных более высокого порядка
8.5. Функционалы, зависящие от функций нескольких независимых переменных
8.6. Вариационные задачи в параметрической форме
8.7. Инвариантность уравнения Эйлера
8.8. Вариационные задачи с подвижными границами
8.9. Задачи с подвижными границами для функционалов, зависящих от двух функций
8.10. Экстремали с угловыми точками
8.11. Односторонние вариации
8.12. Вариационные задачи на условный экстремум
8.13. Изопериметрические задачи
8.14. Прямые методы вариационного исчисления
8.15. Вариационные методы решения уравнений с частными производными
8.16. Вариационные методы в теории оптимального управления
Приложение 1. Краткие сведения о свойствах некоторых обобщенных функций
1. Дельта-функция
2. Функция Хевисайда
3. Функция знака
4. Прямоугольная функция
Приложение 2. Таблицы интегральных преобразований
1. Экспоненциальное преобразование Фурье
2. Синус-преобразование Фурье
3. Косинус-преобразование Фурье
4. Преобразование Лапласа
Список литературы
