Дифференциально-геометрические свойства уравнений...

Дифференциально-геометрические свойства уравнений…

Шемарулин В. Е.

Дифференциально-геометрические свойства уравнений одномерной изэнтропической газовой динамики

Монография / В. Е. Шемарулин. – Саров: ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2015. – 199 с., ил. ISBN 978-5-9515-0302-2

В монографии изложены результаты аналитического исследования уравнений одномерной изэнтропической газовой динамики, принадлежащих одному из важнейших классов уравнений механики сплошных сред. Решен ряд задач проблемного характера, имеющих большое теоретическое и прикладное значение. Основные результаты принадлежат автору, получены впервые и имеют законченный характер.
Инструментами исследования являются современные групповые и дифференциально-геометрические методы, в частности теория высших симметрий и законов сохранения, методы формальной теории дифференциальных уравнений, контактной геометрии и теории алгебр Ли.
Главными математическими результатами, представленными в монографии, являются: исчерпывающее описание пространств высших (локальных) симметрий и законов сохранения рассматриваемых уравнений, исследование структурных свойств этих пространств, развитие аналитических методов решения возникающих при этом переопределенных систем уравнений и методов исследования структуры алгебр симметрий.
К числу наиболее значимых относятся также результаты решения ряда классификационных и прикладных задач и выяснение геометрической природы некоторых свойств уравнений одномерной газодинамики. В частности, здесь проведена классификация уравнений но показателю адиабаты газа, найдены новые классы точных решений, получена явная формула для глобального решения задачи Коши на плоскости переменных годографа, найдены обобщения оператора Дарбу из теории одномерных изэнтропических течений политропного газа, установлена групповая природа всех этих обобщенных операторов, обнаружена связь уравнений газовой динамики с комбинаторикой.
Для специалистов в области прикладной математики и математической физики.

Категория:

СОДЕРЖАНИЕ

Основные обозначения
Введение
Глава 1. Предварительные сведения об уравнениях газовой динамики
1.1 Дифференциальные уравнения газовой динамики
1.2 Установившиеся течения. Интеграл Бернулли
1.3 Безвихревые изэнтропические течения. Интеграл Коши–Лагранжа. Уравнение для потенциала скоростей
1.4 Одномерные изэнтропические течения с плоскими волнами. Инварианты Римана

Глава 2. Высшие симметрии и законы сохранения уравнений одномерных плоских изэнтропических течений политропного газа
2.1 Основные понятия и конструкции теории высших симметрий и законов сохранения
2.2 Линеаризация уравнения для потенциала скоростей преобразованием Лежандра. Сведение к уравнению Эйлера–Дарбу Yn
2.3 Внутренние координаты на Yn,∞ и некоторые формулы для операторов полного дифференцирования
2.4 Алгебра контактных симметрий уравнения Yn и его операторы рекурсии первого порядка; n ≠ 0, −1
2.5 Симметрии высших порядков φ ∈ C ∞(J l ), l ≥ 2 уравнения Yn; n ≠ 0, ±1, ±2, . . . , ± (l − 1), −l
2.6 Описание алгебры Sym Yn высших симметрий уравнения Yn; n ≠ ZZ
2.7 Описание группы локальных законов сохранения для уравнения Yn; n ≠ ZZ. Фундаментальный закон сохранения
2.8 О симметриях и законах сохранения уравнения Yn при n ≠ ZZ.
2.9 Базис локальных законов сохранения для системы уравнений одномерной газовой динамики. О гамильтоновых симметриях системы

Глава 3. Структура алгебр высших симметрий и локальные эквивалентности уравнений Эйлера–Дарбу
3.1 Линейные базисы алгебры NSymYn. Некоторые изоморфизмы
3.2 Формулы коммутирования для операторов рекурсии. Разложение NSymYn в прямую сумму нечетномерных неприводимых sl2-модулей
3.3 Об идеалах и подалгебрах в SymYn и NSymYn. Каноническая градуировка алгебры NSymYn
3.4 Размерность пространств R(u)-инвариантных решений уравнения Yn; R(u) ∈ NSymYn
3.5 Условие изоморфности алгебр SymYn и SymYn и локальной эквивалентности уравнений Yn и Ym, n, m ∉ ZZ. Примеры нелокальных эквивалентностей уравнений Yn и Ym
3.6 Описание полного множества локальных эквивалентностей уравнений Yn и Ym; n, m ∉ ZZ
3.7 Представление алгебры [U(L)/(∆n)]L линейными обыкновенными дифференциальными операторами
3.8 Описание полного множества изоморфизмов g алгебр NSymYn и NSymYm, удовлетворяющих условию g(NSymcYn) = NSymcYn в случае n, m ∉ ZZ; n, m≠1/2(±i − 1), i = 2, 4, 6,…

Глава 4. Локальные законы сохранения для одномерного волнового уравнения
4.1 Определяющая система уравнений для производящих функций законов сохранения
4.2 Отображение Грина. Общее решение определяющей системы уравнений. Описание пространства локальных законов сохранения
4.3 Два следствия

Глава 5. Базис контактных законов сохранения полиномиального типа в одномерной газовой динамике
5.1 Описание пространства контактных законов сохрaнения уравнения для потенциала скоростей
5.2 Операторы рекурсии и базис контактных законов сохранения полиномиального типа
5.3 Дифференциальные соотношения для одного класса специальных полиномов. Общие решения дифференциальных уравнений, определяющих эти полиномы

Глава 6. Фундаментальная система решений уравнений одномерных плоских изэнтропических течений политропного газа
6.1 Фундаментальная система однородных полиномиальных решений линейного уравнения для потенциала Лежандра
6.2 Решение задачи Коши с аналитическими начальными данными на плоскости переменных годографа
6.3 Биномиальные представления для коэффициентов однородных полиномиальных решений
6.4 Однородные полиномиальные решения и операторы рекурсии
6.5 Примеры газодинамических течений, определяемых фундаментальными полиномами низших степеней

Глава 7. Операторы типа Дарбу в одномерной газовой динамике
7.1 Оператор Дарбу в теории одномерных течений политропного газа
7.2 Уравнения одномерной изэнтропической газовой динамики на плоскости переменных годографа
7.3 Формальная связь уравнений в переменных Эйлера и Лагранжа. Оператор типа Дарбу и ассоциированный с ним оператор рекурсии
7.4 Групповая природа оператора типа Дарбу. Связь с галилеевской инвариантностью уравнений газовой динамики
Заключение
Список литературы

Похожие издания