Теория поля…

Мартынова И. А., Машин И. Г., Фомченко В. Н.

Теория поля и защита информации

Монография. – Саров: ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2017. – 209 с. : ил. ISBN 978-5-9515-0347-3

Рассмотрены теория информации, модели криптографической системы и системы связи при наличии шума, условная энтропия как математическая мера неопределенности и помехоустойчивое кодирование информационных сообщений. Приведены определения алгебраических и криптографических структур, изоморфизма. Рассмотрены математические основы анализа и синтеза автономных цифровых устройств и приложения теории поля в теории кодирования и криптографии. В приложениях приведены аксиоматический метод познания, краткая история развития алгебры и основные понятия теории множеств.
Представленные материалы могут быть использованы аспирантами технических специальностей, а также предназначены для широкого круга инженерно-технических работников, занимающихся разработкой информационных технологий и защитой информации. Приведенные материалы могут быть также полезны для студентов соответствующих специальностей.

Категории: ,

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Теория связи и криптографическая защита информации
1.1. Теория информации
1.2. Общие задачи надежной передачи информации и пути их решения
1.3. Модели криптографической системы и системы связи при наличии шума
1.4. Количество информации и совершенно стойкие криптографические системы
1.5. Условная энтропия как математическая мера неопределенности
1.6. Помехоустойчивое кодирование информационных сообщений

2. Введение в теорию поля
2.1. Алгебраические и криптографические структуры. Группы преобразований
2.1.1. Понятие алгебраических и криптографических структур
2.1.2. Определение изоморфизма
2.1.3. Сложение и умножение вещественных чисел. Применение аксиоматического метода
2.1.4. Абелевы группы и смежные классы
2.1.5. Кольца и поля
2.1.6. Подгруппы, подкольца и подполя
2.1.7. Группы преобразований
2.2. Многочлены над полем. Поля Галуа
2.2.1. Многочлены над полем
2.2.2. Многочлены над полем GF(p)
2.2.3. Модулярные кольца многочленов
2.2.4. Поля Галуа
2.3. Вариант классификации алгебраических и криптографических структур
2.4. Матрицы и их преобразования
2.4.1. Векторные пространства и подпространства
2.4.2. Матрицы над полем
2.4.3. Нуль-пространство матрицы
2.4.4. Обратная матрица
2.4.5. Элементарные делители матрицы
2.4.6. Характеристический и минимальный многочлены матрицы
2.4.7. Естественная нормальная форма матрицы
2.4.8. Матрица преобразования подобия

3. Математические основы анализа и синтеза автономных цифровых устройств
3.1. Синтез цифровых устройств
3.1.1. Представление цифрового устройства в виде «черного ящика» и его элементарные составляющие
3.1.2. Основные переменные цифрового устройства
3.1.3. Характеристические матрицы цифрового устройства
3.1.4. Синтез цифрового устройства по характеристическим матрицам
3.1.5. Внутренние сети цифрового устройства
3.2. Автономные цифровые устройства и последовательности над полем GF(p)
3.2.1. Автономные цифровые устройства
3.2.2. Функции времени и последовательности над полем GF(p)
3.3. Псевдоканоническая реализация и простые автономные цифровые устройства
3.3.1. Псевдоканоническая реализация автономного цифрового устройства
3.3.2. Простые автономные цифровые устройства
3.4. Реакция неособенного простого автономного цифрового устройства
3.4.1. Кольцо многочленов над полем GF(р)
3.4.2. Неособенное простое автономное цифровое устройство
3.4.3. Четырехмерное неособенное простое автономное цифровое устройство над полем GF(2)
3.5. Воспроизводящая матрица
3.5.1. Воспроизводящий многочлен неособенного простого автономного цифрового устройства
3.5.2. Воспроизводящая матрица неособенного простого автономного цифрового устройства
3.5.3. Пример автономного цифрового устройства с воспроизводящей матрицей
3.6. Периоды выходных последовательностей
3.6.1. Минимальный период выходной последовательности
3.6.2. Поиск выходных последовательностей, имеющих заданный период
3.6.3. Минимальный период выходных последовательностей неприводимого многочлена
3.6.4. Пятимерное неособенное простое автономное цифровое устройство над полем GF(2)
3.7. Реакция произвольного простого автономного цифрового устройства
3.7.1. Многочлен обратной связи произвольного простого автономного цифрового устройства
3.7.2. Автономное цифровое устройство над полем GF(2)
3.8. Синтез автономного цифрового устройства, воспроизводящего заданное множество строго периодических последовательностей
3.8.1. Кольцевой регистр сдвига
3.8.2. Автономное цифровое устройство с многочленом обратной связи
3.9. Синтез автономного цифрового устройства, воспроизводящего заданное множество периодических последовательностей
3.10. Покрытие простых автономных цифровых устройств
3.11. Обобщение полученных результатов для произвольных автономных цифровых устройств

4. Приложения теории поля в теории кодирования и криптографии
4.1. Теория кодирования и теория поля
4.1.1. Теория кодирования. Обнаружение и исправление ошибок
4.1.2. Построение поля GF(16)
4.1.3. Построение конечных полей GF(p) и GF(pm)
4.1.4. Минимальные многочлены
4.1.5. Таблицы малых полей
4.2. Выполнение операций сложения и умножения над элементами поля GF(28) в криптографическом алгоритме Rijndael
4.2.1. Операция сложения элементов поля GF(28)
4.2.2. Операция умножения элементов поля GF(28)
4.2.3. Раундовые преобразования Rijndael
4.3. Выполнение операций сложения и умножения над элементами поля GF(216)
4.3.1. Операция сложения элементов поля GF(216)
4.3.2. Операция умножения элементов поля GF(216)

Приложение 1. Аксиома и аксиоматический метод
П1.1. Аксиома
П1.2. Аксиоматический метод
П1.3. Непротиворечивость системы аксиом

Приложение 2. Алгебра и краткая история ее развития
П2.1. Становление алгебры
П2.2. Развитие алгебры в Западной Европе
П2.3. Поворот в развитии алгебры
П2.4. Композиции и основная задача алгебры
П2.5. Возникновение понятия группы

Приложение 3. Основные понятия теории множеств
П3.1. Понятие множества
П3.2. Отображения и мощности
П3.3. Комбинаторика в теории множеств
П3.4. Пересечение, сложение, разбиение и вычитание множеств
П3.4.1. Пересечение множеств
П3.4.2. Сложение множеств
П3.4.3. Разность множеств
П3.5. Арифметика остатков
П3.6. Алгебра множеств
Список литературы